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Matrices de corrélation et de covariance

Dans le cas d'un vecteur aléatoire dont les composantes sont des variables aléatoires associées à un même processus, l'ensemble des valeurs d'autocorrélation ou de covariance peut être rassemblé dans une matrice de corrélation ou de covariance. Un vecteur à k composantes tex2html_wrap_inline4133 engendre une matrice tex2html_wrap_inline4135 à tex2html_wrap_inline4137 éléments:

matrice de corrélation: tex2html_wrap_inline4139 où le symbole tex2html_wrap_inline4141 désigne l'opérateur transposé d'un vecteur.

matrice de covariance: tex2html_wrap_inline4143

Si le vecteur résulte de l'échantillonnage régulier d'un processus stationnaire, les valeurs de corrélation ou de covariance ne dépendent plus que de la différence tex2html_wrap_inline4145tex2html_wrap_inline4147 est le pas d'échantillonnage. De plus, on a tex2html_wrap_inline4149

displaymath4127

Une telle matrice est symétrique et chaque diagonale est composée d'éléments identiques (matrice de Toepliz).

displaymath4128

tex2html_wrap_inline4151 . Ces deux matrices s'identifient dans le cas de processus à moyenne nulle. On montre facilement qu'une matrice de covariance est une matrice symétrique définie positive ( tex2html_wrap_inline4153 ).

Un cas particulier intéressant intervient lorsque les échantillons sont non corrélés: ceci entraine l'annulation des coefficients de corrélation tex2html_wrap_inline4155 et la matrice de covariance se réduit alors à une matrice diagonale d'éléments tex2html_wrap_inline3875 .

Transformation linéaire: Si l'on effectue un changement de variable linéaire de la forme Y = AXA est une matrice quelconque de constantes (pas forcément carrée), alors on a les résultats suivants: E(Y) = A E(X) et tex2html_wrap_inline4165 .

Normalisation d'un vecteur aléatoire: On appelle transformation de Mahalanobis, la transformation tex2html_wrap_inline4167 . Le vecteur Y est un vecteur centré réduit à composantes non corrélées.

Distance de Mahalanobis: On appelle distance de Mahalanobis de X à la quantité tex2html_wrap_inline3851 : tex2html_wrap_inline4175 . Cette distance permet de mesurer la distance d'une réalisation d'un vecteur aléatoire à un échantillon caractérisé par sa position (vecteur moyenne) et sa dispersion (matrice de covaraince).



Jean-Michel JOLION
Thu Jul 26 14:16:37 METDST 2001